İnternette Karşınıza Çıktığında “Nasıl Olabilir Bu?” Dedirten Bu Çikolata Paradoksunun Arkasında Nasıl Bir Mantık Var?

5×5 parçadan oluşan bir çikolatanın doğru oranlarla sürekli bir parçasını yiyerek sonsuz sayıda çikolataya sahip olabilir misiniz? İnternette dolaşan ve mümkünmüş gibi gösterilen bu paradoksu açıklıyoruz.

Dünya üzerinde en çok hayranı olan yiyeceklerden biri olan çikolatayı çoğumuz seviyoruz. Nasıl yapıldığından içerisine konulan şeylerin oranına göre binlerce farklı tatta çikolata bulunuyor. Bir markanın çikolatasıyla diğer markanın çikolatası arasında bile büyük farklılık var, ancak kaliteli bir çikolatanın ağızda bıraktığı o yoğun lezzeti sevmeyen yoktur diye düşünüyoruz.

Çikolatayı bu kadar çok sevdiğimiz için bitmesini istemiyoruz. Peki aldığınız bir çikolatayı matematiği kullanarak sonsuza kadar çoğaltmak mümkün mü? Elbette bir boyutu ve ağırlığı olan somut bir gıdayı sonsuza kadar yemek mümkün değil ancak matematik, teoride bunu mümkün kulan bir paradoksa sahip.

Çikolatayı doğru bölgelerden bölerek sonsuz sayıda çikolata parçası üretebilir miyiz?

Yukarıdaki görselde de gördüğünüz gibi 5 x 5 parçadan oluşan bir çikolatayı düşünelim. Bu çikolatayı belirli bir açıyla ortadan ikiye bölelim ve yukarıda kalan parçayı da yine bazı özel parçalara ayıralım. (Çikolatanın nasıl parçalandığını yukarıdaki GIF’ten görebilirsiniz.) Bu şekilde bir kesim işlemi yapıp parçaların yerlerini değiştirip yeniden koyduğunuzda 1 parçanın dışarıda kaldığını görüyoruz.

Bu açıdan bakıldığında 1 parçanın dışarıda kaldığını, üstelik hala 5 x 5 parçanın bütünlüğünü koruduğunu görüyoruz. Bu da bize “Sonsuz çikolataya sahip olabilir miyiz?” sorusunu sorduruyor. Peki gerçekten oluyor mu?

Bir çikolatayı sonsuza kadar parçalayıp yemeyi mümkünmüş gibi gösteren “Banach – Tarski paradoksu” tam olarak nasıl işliyor?

Sonsuz çikolata paradoksu, matematikte yeri olan Banach – Tarski paradoksunun bir örneği aslında. Bu paradoksa göre “hiçbir şeyden bir şey var etmek” mümkün. Ancak yukarıdaki görselde her ne kadar gerçekmiş gibi görünse de dünya fiziğinde bir gerçekliği yok. Eğer gerçek dünyada bu yöntemi uygularsanız çikolatanın boyutunun küçüldüğünü görebilirsiniz. Kısaca yukarıdaki GIF’te bir hile var.

Konuyu daha iyi kavramak için Banach – Tarski paradoksunun kökenine inelim.

1924 yılında Stefan Banach ve Alfred Tarski tarafından ortaya atılan bu matematiksel paradoks, teoride içi dolu bir küreyi sonlu parçalara ayırıp bu parçaları eğip bükmek ve germek olmaksızın sadece öteleme ve döndürme yolu ile yeniden bir araya getirerek orijinal küreyle aynı olan iki küre oluşturmanın matematiksel formülünün mümkün olduğunu gösteriyor.

Bu paradoksta örneğin 1 hacme sahip küreyi ölçülemeyen parçalara bölüyorsunuz. Bu parçalar ölçülemez oldukları için tekrar bir araya geldiklerinde istediğiniz hacmi alabilmenizi sağlıyor. Bu paradoks elbette gerçek dünyada doğru sonuç vermiyor. Soyut olan bir dünyada ise matematiksel olarak uygulanabilir oluyor.

Peki görseldeki kayıp nereye gitti?

Yukarıda görselde de görebileceğiniz gibi fazlalık olan 1 parça çikolata, çikolatanın kalanından çıkarıldığında yine 25 parça ele edilebiliyor ancak çikolatanın bütününden o 1 parça çikolatanın alanı daralmış oluyor. Görseldeki bu yanılsama her ne kadar “böyle bir şey mümkün mü?” dedirtse de gerçeklikte maalesef bir çikolatayı sonsuza kadar yemeye devam edemiyoruz.