Kürenin Hacmi Nasıl Hesaplanır? Formülüyle Birlikte Adım Adım Açıklıyoruz
Okul sıralarından alışık olduğumuz bir geometrik şekil olan küre, dışarıdan basit bir yuvarlak gibi görünse bile aslında simetrik olarak tamamen kusursuz bir şekildir. Hacmi ve alanı gibi hesaplar için de özel bir formül uygulanması gerekir. Gelin kürenin hacmi nasıl hesaplanır sorusuna yakından bakalım ve bu hesaplama işlemi için kullanmanız gereken formülü görelim.
Matematik ve geometri derslerini pek çoğumuz en son lise yıllarında görmüş olsak bile aslında farkında olmadan günlük hayatta devamlı karşılaşıyoruz. Zaten mühendislik gibi birçok iş alanında geometrik şekiller aktif olarak kullanılıyor. Bunlardan bir tanesi de küre. Küre, dışarıdan bakıldığı zaman basit bir yuvarlak gibi görünen ancak kusursuz simetriye sahip en önemli geometrik şekillerden bir tanesidir.
Kürenin hacmi, alanı ve benzeri ölçüleri bulmak pek kolay olmadığı için kullanmanız gereken özel bir formülü var. Bu formülü bildikten sonra gerekli değişkenleri yerlerine yerleştirerek birkaç basit işlem ile kürenin hacmini bulmanız mümkün. Elbette daha karışık işlemlerde kürenin hacmi yalnızca çözümün ilk adımı olabilir. Gelin kürenin hacmi nasıl bulunur sorusuna yakından bakalım ve bu hesaplama işlemi için kullanmanız gereken formülü görelim.
Hiç bilmeyenler için, küre nedir?
Küre, simetrik olarak kusursuz olarak tanımlanan geometrik bir şekildir. Aynı zamanda bir yüzey olan küre, üç boyutlu öklit uzayda bulunmaktadır. Günlük hayatta aynı olduğunu düşünsek de aslında matematik ve geometride içi dolu ve içi boş küre ayrı şekilde değerlendirilir. İçi dolu küre yuvar olarak adlandırılır. Yuvar üç boyutluyken içi boş küre iki boyutludur. Bir boyutlu küre ise çemberdir.
Kürenin hacmini hesaplama işlemi için kullanmanız gereken özel formülü:
Birazdan örnek üzerinden açıklarken detaylarına geçeceğiz ama öncelikle kürenin hacmi nasıl ölçülür sorusunun en temel yanıtı olan, bu işlem için kullanmanız gereken formülü yazalım. Kürenin hacim hesaplama formülü V = ⁴⁄₃πr³ şeklindedir. Bu formülü hemen bir yere not edin ve kağıt kalem hazırsa hemen örneğimizi incelemeye başlayın.
Kürenin hacmi nasıl hesaplanır? Bir örnek üzerinden anlatalım:
- Adım #1: Kürenin hacim hesaplama formülünü bir köşeye yazın.
- Adım #2: Öncelikle yarıçapı bulun ve formüldeki yerine yazın.
- Adım #3: Yarıçapın küpünü bulun ve formüldeki yerine yazın.
- Adım #4: Küpünü aldığınız yarıçapı formüldeki değerle çarpın.
- Adım #5: Son olarak elde ettiğiniz değeri pi sayısı ile çarpın.
Adım #1: Kürenin hacim hesaplama formülünü bir köşeye yazın:
Yukarıda bahsettiğimiz gibi kürenin hacim hesaplama formülü V = ⁴⁄₃πr³ şeklindedir. Eğer usta bir matematikçi değilseniz ve tüm işlemleri aklınızdan yapmayacaksanız ilk olarak bu formülü bir köşeye yazmanız gerekir. Zaten sonraki adımları, V = ⁴⁄₃πr³ formülü üzerinde uygulamanız gerekecek. Formülde V kürenin hacmini, r ise kürenin yarıçapını ifade etmektedir.
Adım #2: Öncelikle yarıçapı bulun ve formüldeki yerine yazın:
Kürenin hacmini hesaplamak için öncelikle kürenin yarıçapını yani r değerini bulmak gerekiyor. Bazı sorularda kürenin yarıçapı direkt olarak verilebilir. Böyle bir durum varsa bir sonraki adıma geçebilirsiniz. Eğer kürenin yarıçapı verilmediyse yapmanız gereken kürenin çapını ikiye bölmektir. Bu örneğimiz için kürenin yarıçapını 1 cm olarak alalım.
Bu noktada bir parantez açalım. Bazı sorularda çap ya da yarıçap yerine kürenin yüzey alanı verilir. Böyle bir durumda endişeye kapılmayın ve şu formülü uygulayarak kürenin yarıçapını bulun; r = karekök ( yüzey alanı / 4π )
Adım #3: Yarıçapın küpünü bulun ve formüldeki yerine yazın:
Kürenin yarıçapını bulduğumuza göre işleme devam etmek için kürenin yarıçapının küpünü almamız gerekiyor. r³ şeklinde gösterilen bu değer r x r x r şeklinde bulunabilir. Örneğimizdeki yarıçap 1 olduğu için 1 x 1 x 1 = 1 yani r³ = 1. Bu değeri formüldeki yerine yazınca şöyle bir tablo çıkıyor; V = ⁴⁄₃π x 1
Bu örnekte kolay anlaşılması için kürenin yarıçapını 1 olarak vermemiz kafa karıştırıcı olmasın. Kürenin yarıçapının 2 olduğu durumda 2 x 2 x 2 = 8 yani r³ = 8 şeklinde bir sonuç çıkar. Bazı büyük sayılarda sonuç da büyük olabilir ancak her zaman cm cinsinden yazmayı ihmal etmeyin.
Adım #4: Küpünü aldığınız yarıçapı formüldeki değerle çarpın:
Kürenin yarıçapının küp değerini 1 olarak bulduktan sonra formüldeki yerine yazınca V = ⁴⁄₃π x 1 şeklinde bir işleme dönüştü. Bu noktada yapmanız gereken ilk işlem r³ yani 1 ile 4/3 değerini çarpmaktır. 4/3 x 1 = 4/3. Formüldeki yerine koyduğumuz zaman karşımıza V = ⁴⁄₃π şeklinde bir tablo çıkıyor.
Adım #5: Son olarak elde ettiğiniz değeri pi sayısı ile çarpın:
Kürenin yarıçapını bulduk, küpünü hesapladık ve formülde olduğu gibi 4/3 değeri ile çarptık. Şimdi sıra geldi V = ⁴⁄₃π formülde olduğu gibi son adım olan pi sayısı ile çarpmaya. Bu tür işlemlerde pi sayısı, aksi söylenmediği sürece 3,14 olarak formüle dahil edilir. Yani V = ( 3,14 ) x 4/3 bu da V = 4,19 oluyor. Tüm bu işlemleri kübik birimler olarak belirlediğimiz için kürenin hacmi yani V = 4,19 cm3
Kürenin hacmini hesaplarken dikkat etmeniz gerekenler:
- Formülün üzerinde işlem yaptığınız tüm birimlerin aynı olduğundan emin olun. Yani tüm sayıları metre ya da santimetre cinsinden kullanın.
- Küre öklit uzayda bulunan bir şekil olduğu için tüm birimler m³ şeklinde kübik olmalı.
- Eğer işlemde sizden küre hacminin yarısı ya da çeyreği isteniyorsa yine de ilk olarak tüm hacmi bulun ve daha sonra bunu değerin yarısı için ½, çeyreği için ¼ ile çarpın.
Küre işlemlerinde kullanabileceğiniz diğer formüllerden bazıları:
- Kürenin projeksiyon alanı: APF = 4/3πr²
- Kürenin parça hacmi: VKS = h²π / 3 ( 3r – h )
- Kürenin atalet momenti: J = 2 / 5 x mr²
- Kürenin yüzey alanı: A = 4πr² = d²π
Matematik ve geometride karşımıza çıkan kusursuz simetriye sahip kürenin hacmi nasıl hesaplanır sorusunu yanıtlayarak hesaplama işlemi için kullanabileceğiniz formülü paylaştık. Elbette küre son derece karmaşık bir konu ancak bu yazımızda hiç bilmeyenler için genel bir bilgilendirme yapmayı hedefledik.